자연상수(e)와 완전순열의 일반항 사이의 관계

 의 테일러 전개를 보면 아래와 같다

그렇다면 아래의 무한급수도 이미 알고 있는 함수의 형태로 표현할 수 있을까?

 의 전개식에 x 대신 -x 를 대입하면 홀수번의 거듭제곱이 있는 항은 마이너스 부호가 그대로 남게되고 짝수번의 거듭제곱이 된 항은 부호가 플러스가 되어 위와 같은 급수를 만들게 된다.

완전 순열의 일반항에 이와 비슷한 형태가 나온다.
(참고로 완전순열의 일반항이란 다음 점화수열의 일반항을 말함.)

위 식은 책장에 n 개의 책이 꽂혀있는데 책들을 모두 다 꺼내고 다시 꽂을 때 모든 책들이 처음과 다른 위치에 꽂히게 되는 방법의 수를 의미한다.

n 개의 책을 배열하는 방법의 수는 n! 가지 이므로 위의 식을 n! 로 나누게 되면 n권의 책을 마구 꽂을 때(random 하게) 모든 책들이 처음과 다른 위치에 꽂히게 될 확률을 의미하게 되는 것이다.

곧, 무한명의 학생이 시험을 치고나서 무한개의 시험지를 그 무한명의 학생이 채점할 때, 모두 다른 사람의 시험지를 채점할 확률이 자연상수의 역수값으로 나타난다는 뜻.

지수,로그함수의 미분을 위해 발견되었다는 숫자 e 의 모습이 확률에서도 나타난다. 이 외에도 자연현상에서는 여러가지 상황하에 e 라는 숫자가 나타난다. 이러한 이유들이 숫자 e 의 이름을 '자연상수'가 되게 해준 것이 아닐까?